Tuesday, 11 September 2012

Ley de los signos de Descartes, División Sintética. Teorema del Factor.

René Descartes encontró un método para indicar el número de raíces positivas en un polinomio. Esta regla dice lo siguiente:

 "El número de raíces reales positivas de un polinomio f(x)=0 es igual al número de cambios de signo de término a término (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par. El numero de raíces negativas es igual al número de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par"


La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el número posible de raices reales de un polinomio p(x) sin gráfica o resolverlas realmente.La regla establece que el número posible de las raíces positivas de un polinomio es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de los términos o menor que los cambios de signo por un múltiplo de 2.Por ejemplo, si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los términos del polinomio, entonces el número posible de raíces positivas del polinomiao es 3 o 1.[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes, asegúrese de arreglar los términos del polinomio en orden descendente de exponente]

Ejemplo:

Encuentre el número de las raíces positivas del polinomio. x3 + 3 x– – x4– 2

Arregle los términos del polinomio en orden descendente de los exponentes: – x4 + x3 + 3 x2– – 2

Cuente el número de cambios de signo:

Hay 2 cambios de signo en el polinomio, así que el número posible de raíces positivas del polinomio es 2 o 0.





División Sintética.


La división sintética es un algoritmo para rápidamente dividir polinomios cuando el divisor está en el x-r de la forma. La división sintética formalmente se llama la regla de Ruffini. La división sintética es de uso general verificar raíces de un polinomio.
Ejemplo 1

PasoEcuacionesDescripción
1x^3-3x-2Éste es el dividendo.
2x-2Éste es el divisor.
3(x^3-3x-2)/(x-2)Ésta es la operación que será realizada.
4x^3-3x-2=1x^3+0x^2-3x-2Identifique los coeficientes implicados y complételos. La aplicación de la propiedad de multiplicarse por 1 al término x3 da un coeficiente implicado es 1. Note que no hay término x2. Aplicando la propiedad de multiplicarse por 0 entonces la propiedad de agregar 0 al término x2 da 0·x2.
5(x^3-3x-2)/(x-2)Copie los coeficientes en la tapa de una rejilla.
6(x^3-3x-2)/(x-2)Copie opuesto del término constante del divisor en la rejilla a la izquierda.
7(x^3-3x-2)/(x-2)Copie abajo del coeficiente del término con el grado más grande. En este caso, el coeficiente es 1.
8(x^3-3x-2)/(x-2)Multiplique el primer número en la parte inferior por el número a la izquierda. Ponga el resultado en la 2da fila, la columna siguiente a la derecha.
9(x^3-3x-2)/(x-2)Agregue los números en las primeras dos filas de la columna siguiente. Ponga el resultado en la 3ro fila.
10(x^3-3x-2)/(x-2)Multiplique el número en la 3ro fila de la columna actual por el número a la izquierda. Ponga el resultado en la 2da fila, la columna siguiente a la derecha.
11(x^3-3x-2)/(x-2)Agregue los números en las primeras dos filas de la columna siguiente. Ponga el resultado en la 3ro fila.
12(x^3-3x-2)/(x-2)Multiplique el número en la 3ro fila de la columna actual por el número a la izquierda. Ponga el resultado en la 2da fila, la columna siguiente a la derecha.
13(x^3-3x-2)/(x-2)Agregue los números en las primeras dos filas de la columna siguiente. Ponga el resultado en la 3ro fila.
14(x^3-3x-2)/(x-2)Multiplique el número en la 3ro fila de la columna actual por el número a la izquierda. Ponga el resultado en la 2da fila, la columna siguiente a la derecha.
15(x^3-3x-2)/(x-2)Copie los coeficientes del resultado en un polinomio.
16(x^3-3x-2)/(x-2)Simplifique el polinomio.
17(x^3-3x-2)/(x-2)Aquí está el problema con el resultado.
18(x^3-3x-2)/(x-2)Compruebe el trabajo multiplicando el resultado por el divisor.




Teorema del Factor.

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e.g. x2 + 6x + 6). Es un caso especial del teorema del resto.
El teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x − k) si y sólo si k es una raíz de f(x), es decir que f(k) = 0.

Ejemplo:
Si se desea encontrar los factores de x3 + 7x2 + 8x + 2, para ello se podría tantear un primer factor, (x − a). Si el resultado de sustituir a en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es (x − 1) un factor? Para saberlo, se sustituye x = 1 en el polinomio:

Cómo esta operación da 18 (y no 0), (x − 1) no es un factor de x3 + 7x2 + 8x + 2. Así que ahora se prueba con (x + 1) (sustituyendo x = − 1 en el polinomio):
.
Que da como resultado 0. Por tanto, x − ( − 1), que es equivalente a x + 1, es un factor, y -1 es una raíz de x3 + 7x2 + 8x + 2.


Fuentes de información:


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