Teorema del Resto. Método de Ruffini. Teorema fundamental del álgebra.

Método de Ruffini.

En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a)

Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”.

Ejemplo:              x⁴+6x³+x²-24x+16

El posible valor de “a”  deber ser divisor del término independiente es este caso 16

16 tiene por divisor 1,2,3,4,8,16. cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión

Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para los divisores de 16.

Probamos con 2:               Si  x⁴+6x³+x²-24x+16,                       Sus coeficientes en orden son:

1.    Bajas el primer  cociente y multiplicas por el divisor. Ubicas bajo el 2do.cociente para sumar o restar según sea el caso

   1             6             1             -24          16           2

                  2             16           34           20         

   1             8             17           10           36           NO

2.   Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el 3er.coeficiente y asi sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes

    1             6             1             -24          16           -4

                 -4            -8            28           -16

     1             2             -7            4             0             SI

 Coeficientes resultantes

(x³+2x²-7x+4) (x+4)

4.  Si obtienes cero entonces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será con el signo contrario

En  nuestro caso nos salió para   -4 entonces el factor es (x+4)

Volvemos a dividir:

                1             2             -7            4             1

                                1             3             -4

                1             3             -4            0             SI

5.     El polinomio se factora entonces disminuyendo un grado al polinomio inicial tomando los coeficientes resultantes.

(x²+3x-4) (x-1) (x+4)

(x+4) (x-1) (x-1) (x+4)

                = (x+4)² (x-1)²

Comprobación como nos dio cero cuando a=-4 reemplazamos en el polinomio original.

=             x⁴ + 6x³ + x² - 24x + 16

=             (-4)⁴ + 6(-4) + (-4)² - 24(-4) + 16

=             256-384+16+96+16

=             0             es lo que debe suceder 

Teorema del Resto.

Si C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división de un polinomio cualquiera

P(x) entre el binomio (x – a), aplicando el algoritmo de la división:

P(x) = C(x) · (x – a) + R(x)

Luego, el valor numérico de P(x), para x = a, es igual al resto de su división

entre x – a, es decir:

P(a) = C(a) · (a – a) + R(a) = R(a)

Y este resultado se conoce como teorema del resto.

Este teorema nos permite averiguar el resto de la división de un polinomio P(x)

entre otro de la forma x – a, sin necesidad de efectuar esta división.

De este teorema se deduce que un polinomio P(x) es divisible por x – a si y

solo a es una raíz del polinomio, es decir, si y solo si P(a) = 0.

Así, por ejemplo, el resto de la división de P(x) = x3 + 3x2 – 7x – 3 entre x – 2

es:

P(2) = (2)3 + 3 · (2)2 – 7 · (2) – 3 = 3

De donde se deduce que esa división no es exacta y, por tanto, x – 2 no es un

divisor de P(x).

Teorema Fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra (TFA) dice que "toda ecuación polinómica

de grado n con coe.cientes complejos tiene n raíces complejas".

De hecho existen múltiples formulaciones equivalentes; por ejemplo que todo

polinomio real puede expresarse como producto de factores reales lineales y

cuadráticos. 

Fuentes de información: 

http://personal.telefonica.terra.es/web/mir/ferran/TFA.pdf

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&sqi=2&ved=0CF4QFjAH&url=http%3A%2F%2Fwww.sectormatematica.cl%2Fmedia%2Fdiferenciado%2FNM4_regla_de_ruffini.doc&ei=QmNPUPSgIISq2QX9qIGoAQ&usg=AFQjCNELHRajIR6OpZsf-JKGOlfkaLHNew&sig2=G-O07Tk5J3MlR3kLkqu3jA

http://www.extremate.es/Oxford/Algebra/30.pdf

Ley de los signos de Descartes, División Sintética. Teorema del Factor.

René Descartes encontró un método para indicar el número de raíces positivas en un polinomio. Esta regla dice lo siguiente:

 "El número de raíces reales positivas de un polinomio f(x)=0 es igual al número de cambios de signo de término a término (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par. El numero de raíces negativas es igual al número de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par"

La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el número posible de raices reales de un polinomio p(x) sin gráfica o resolverlas realmente.La regla establece que el número posible de las raíces positivas de un polinomio es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de los términos o menor que los cambios de signo por un múltiplo de 2.Por ejemplo, si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los términos del polinomio, entonces el número posible de raíces positivas del polinomiao es 3 o 1.[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes, asegúrese de arreglar los términos del polinomio en orden descendente de exponente]

Ejemplo:

Encuentre el número de las raíces positivas del polinomio. x³ + 3 x² – x – x⁴– 2

Arregle los términos del polinomio en orden descendente de los exponentes: – x⁴ + x³ + 3 x²– x – 2

Cuente el número de cambios de signo:

Hay 2 cambios de signo en el polinomio, así que el número posible de raíces positivas del polinomio es 2 o 0.

División Sintética.

La división sintética es un algoritmo para rápidamente dividir polinomios cuando el divisor está en el x-r de la forma. La división sintética formalmente se llama la regla de Ruffini. La división sintética es de uso general verificar raíces de un polinomio.

Ejemplo 1

Paso	Ecuaciones	Descripción
1		Éste es el dividendo.
2		Éste es el divisor.
3		Ésta es la operación que será realizada.
4		Identifique los coeficientes implicados y complételos. La aplicación de la propiedad de multiplicarse por 1 al término x3 da un coeficiente implicado es 1. Note que no hay término x2. Aplicando la propiedad de multiplicarse por 0 entonces la propiedad de agregar 0 al término x2 da 0·x2.
5		Copie los coeficientes en la tapa de una rejilla.
6		Copie opuesto del término constante del divisor en la rejilla a la izquierda.
7		Copie abajo del coeficiente del término con el grado más grande. En este caso, el coeficiente es 1.
8		Multiplique el primer número en la parte inferior por el número a la izquierda. Ponga el resultado en la 2da fila, la columna siguiente a la derecha.
9		Agregue los números en las primeras dos filas de la columna siguiente. Ponga el resultado en la 3ro fila.
10		Multiplique el número en la 3ro fila de la columna actual por el número a la izquierda. Ponga el resultado en la 2da fila, la columna siguiente a la derecha.
11		Agregue los números en las primeras dos filas de la columna siguiente. Ponga el resultado en la 3ro fila.
12		Multiplique el número en la 3ro fila de la columna actual por el número a la izquierda. Ponga el resultado en la 2da fila, la columna siguiente a la derecha.
13		Agregue los números en las primeras dos filas de la columna siguiente. Ponga el resultado en la 3ro fila.
14		Multiplique el número en la 3ro fila de la columna actual por el número a la izquierda. Ponga el resultado en la 2da fila, la columna siguiente a la derecha.
15		Copie los coeficientes del resultado en un polinomio.
16		Simplifique el polinomio.
17		Aquí está el problema con el resultado.
18		Compruebe el trabajo multiplicando el resultado por el divisor.

Teorema del Factor.

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e.g. x2 + 6x + 6). Es un caso especial del teorema del resto.
El teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x − k) si y sólo si k es una raíz de f(x), es decir que f(k) = 0.

Ejemplo:
Si se desea encontrar los factores de x3 + 7x2 + 8x + 2, para ello se podría tantear un primer factor, (x − a). Si el resultado de sustituir a en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es (x − 1) un factor? Para saberlo, se sustituye x = 1 en el polinomio:

Cómo esta operación da 18 (y no 0), (x − 1) no es un factor de x3 + 7x2 + 8x + 2. Así que ahora se prueba con (x + 1) (sustituyendo x = − 1 en el polinomio):
.
Que da como resultado 0. Por tanto, x − ( − 1), que es equivalente a x + 1, es un factor, y -1 es una raíz de x3 + 7x2 + 8x + 2.

Fuentes de información:

http://analisis-numerico-horacio.blogspot.mx/2012/03/ley-de-los-signos-de-descartes.html
http://www.allmathwords.org/es/s/syntheticdivision.html

http://www.buenastareas.com/ensayos/Teorema-Del-Factor/3503381.html